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  • 转载 – 网络流/二分图相关笔记

    本来已经写了不少，但又发现了前人造的质量上乘的轮子，就没有为难自己了。

    以下文章均转载自 command-block 的洛谷博客。

    网络流/二分图相关笔记(干货篇)

    网络流/二分图相关笔记(应用篇)

    模拟费用流小记

  • CF1747E – List Generation – 题解

    这道破题拖了我整整一天。

    代数推导

    转化为容斥模型

    题目所给限制可以表述为，$a$ 和 $b$ 均为单调不降的序列，长度相等（记为 $k$），且 $a_1=0,a_k=n,b_1=0,b_k=m,\nexists i\in[2,k],a_i=a_{i-1}\land b_i=b_{i-1}$。

    考虑差分序列 ${a_i}’=a_i-a_{i-1}\quad(i\in[2,k])$，${b_i}’$ 同理，它与原序列形成双射。于是不存在 ${a_i}’={b_i}’=0$ 的差分序列合法。考虑 $\sum_{i=2}^{k}{a_i}’=n$，也就是和为 $n$ 的 $k-1$ 元线性方程组的一组非负整数解；$b’$ 同理。容易计算“钦定至少有 $c$ 个位置不合法”的方案数——利用容斥原理即可得到长为 $k$ 的合法序列对个数为
    $$\sum_{c=0}^{k-2}\binom{k-1}{c}\binom{n+(k-1)-1-c}{(k-1)-1-c}\binom{m+(k-1)-1-c}{(k-1)-1-c}(-1)^c$$ 答案累加上式结果 $\times k$。 （更多…）

  • MOCK NOIP 20221117 日志

    T1 的 Hack 数据提醒我，尽管时间复杂度没有变化，但所有想到剪枝和常数优化在时限不充裕的题目中仍是必要的。

    T2 没有认真读题，忽略了“恰执行一次”的要求。

    T3 里面没有使用自己熟悉的存边方式，时间趋紧的情况下代码实现出错。这再次告诫我应以求稳为重。

    简单题解

    A – 跳棋

    从 $(x,y)$ 跨步跳能够跳到 $(x\pm 2,y),(x,y\pm 2)$，以及 $(x+k,y+k),k=\pm 2$。可以发现 $x,y$ 奇偶性均不变。我们只需要考虑所有存在棋子的格子及其邻居。它们形成若干连通块，在这些连通块上 BFS 即可。

    若采用 std::map 存储，时间复杂度为 $\newcommand\bigO{\operatorname{O}}\bigO(7n\log n)$。需要采纳“避免遍历不存在的连通块”之类的优化。 （更多…）

  • MOCK NOIP 20221112 日志

    仍然是中规中矩的一场模拟赛。前两题正解，第三题暴力，第四题不会。

    简略题解

    A – 激光

    考虑是否有两条及以上双向连边，若是则无解，若有一条则枚举要将哪一侧的发射器旋转到哪一方向。简单模拟即可。

    B – 碰撞

    这类数轴上带标号小球相撞的题目都有一个经典套路：两球相撞调转方向时，我们不认为是球本身转向，而认为两球仍然保持原方向运动，而其编号交换。 （更多…）

  • MOCK ??? 20221012 日志

    $4$ 道题全部只会暴力。还不如直接发下来当练习做呢，省得在场上罚坐三小时浪费时间。

    简略题解

    A – 神灵庙

    观察发现：

    • 当树的形态确定时，我们总是将权值更大的节点安插到深度更小的叶子上。可以将 $a$ 降序排序后逐层填写。
    • 一个节点只可能有 $0$ 个或者 $2$ 个儿子。如果只有 $1$ 个儿子，显然可将该节点删除而整棵子树全部向上平移。

    设 $f(d,i,c_1,c_2)$ 表示“现在位于第 $d$ 层（此处“层”指的是节点实际深度）。已经填写好了 $a_1,a_2,\cdots,a_i$，且第 $d$ 层共 $c_1$ 个空置（非叶子）节点，第 $d-1$ 层有 $c_2$ 个此类节点”。那么两层的每一空置节点，均会有一个第 $d+1$ 层的儿子。枚举“下一层要填写 $k$ 个元素”，有转移
    $$f(d+1,i+k,c_1+c_2-k,c_1)\leftarrow f(d,i,c_1,c_2)+\left(\sum_{j=i+1}^{i+k}a_j\right)(d+1)$$ （更多…）

  • MOCK NOIP 20221110 日志

    fread 专场。$4$ 道题里面 $3$ 道适合用快读。

    简略题解

    A – 远征

    由题意可得 $a_i$ 应为目前战斗力 $x$ 的子集。这一迭代过程最多只有 $10$ 轮（$a_i,x\leq 1023=2^{10}-1$），于是处理出跳转指针暴力模拟即可。

    复杂度 $\newcommand\bigO{\operatorname{O}}\bigO(1024n)$。

    B – 传送

    观察样例可以感知到答案应当只有 $-1,0,1,2$ 四种取值。

    根据题意，在原图 $G$ 上若有一条简单路径（在迭代加边的过程中绕回原点不符和要求） $x\rightarrow\cdots\rightarrow y$，满足其长度 $l\equiv 1\pmod{2}$，那么 $G’$ 上一定存在边 $(x,y)$。

    所以若 $x,y$ 不在同一连通块中，无解；若存在满足题意的路径，答案即为 $1$；否则必须经某个点中转，答案为 $2$。

    （更多…）

  • MOCK NOIP 20221108 日志

    中规中矩的一场模拟赛。

    T1 写得实在是太久了……这也是没办法的事情——如果不对转移作压缩优化就没办法过。

    T2 有我喜欢的马拉车 Manacher 算法，是印象里第二次在模拟赛应用。

    然后就没时间了。后两题仍然只有暴力分，但最近频繁遇到跟凸包和线性函数相关的题目，这使我发现 T3 跟它相关。在最后一点时间里实现了构建凸包的函数。代码本身没问题，但思路是错误的。

    简略题解

    A – 石蒜反冲

    这好像是很早以前的译名了。现在它叫《莉可丽丝》。

    遇见多模式串匹配，自然想到自动机上 DP。但我们发现题目中给定的两个串 sakana chinanago 在任何一个文本串中最多只能匹配其中一个，且匹配位置唯一。于是简单计数 DP 转移，记录当前二者匹配数之差与目前匹配位置即可。

    一些不应用就过不了的优化：

    • 二者数量之差可只记录到 $\frac{n}{15}$。$15$ 是两个串的总长度。
    • 转移时对于 ? s c a o 还有其他字符分类讨论，保证单次转移复杂度为 $\newcommand\bigO{\operatorname{O}}\bigO(1)$。

    时间复杂度 $\bigO(n^2)$。 （更多…）

  • AtCoder ARC149D – Simultaneous Sugoroku 简略题解

    Atcoder ARC149D – Simultaneous Sugoroku

    官方题解做法是线性的，在此不再赘述。

    考虑对于纸片 $X=1,2,\cdots,\max\{X_i\}$ 分别计算答案。每次暴力枚举显然不可取，但假若我们知晓对于 $X$，在 $i=0,1,\cdots,M$ 次操作以后纸片在数轴上的坐标 $x_0=X,x_1,\cdots,x_m$，其中 $\text{pos}$ 是最小的取到 $x_\text{pos}=-1$ 的位置，则对于 ${x_0}’=X’=X+1$：

    • 如果 $\text{pos}$ 不存在，则所有坐标整体向数轴正半轴平移 $1$ 单位；
    • 否则，$\text{pos}$ 就将是起始点为 $X’$ 的纸片首次到达 $0$ 点的位置，也即题目所求。所有小于 $\text{pos}$ 的坐标仍向正半轴平移 $1$ 单位；而 $\geq \text{pos}$ 的坐标，由于偏移量 $D_i$ 符号翻转，则有 ${x_i}’-{x_{i-1}}’=-(x_i-x_{i-1})$。依次考虑每一坐标，就会得到 ${x_i}’=1-x_i,\forall \text{pos}\leq i\leq m$。
      （这里认为当 $x_\text{pos}=0$ 时仍然继续执行操作。维护 $\geq\text{pos}$ 的坐标位置是为了计算 $X”>X’$ 的答案。）

    这是可以用区间树维护的：我们想要快速求出全局非正数最大值以及首次取到该最大值的位置，同时支持全局加 $1$、后缀所有数符号翻转 （$\times -1$）。那么同时维护区间非负数最大值、正数最小值以及首次取到他们的位置，采用延迟标记更新（两种操作对于前述信息是具有结合律的，形成幺半群）即可。

    时间复杂度 $\operatorname{O}(\max\{X_i\}\log M)$，常数一般。

    Submission #36155560 （更多…）

  • 密码保护：CSP-S 2022 游记

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  • MOCK NOIP 20221020 日志

    感冒咳嗽，头实在是太晕了，打完前两题和后两题的暴力之后跑去睡了会觉。结果考得还行。

    一句话题解

    A – 破坏

    简单的 $\newcommand{\bigO}{\operatorname{O}}\bigO(m2^k)$ DP。记录每个节点的路径数奇偶性考虑是否翻转即可。

    B – 共识

    用 std::bitset 写的暴力大家都会。不过如果你胆子大些，不判断是否为部分分数据范围直接提交（加入随机化的）暴力，将喜提 $\text{100 pts}$。

    命题：现有一个由 $2n$ 个元素构成的集合，保证 $2\mid n$。有 $n+1$ 个大小恰为 $n$ 的子集 $S_1,\cdots,S_{n+1}$。则至少存在 $n/2$ 对无序对 $(i,j),i\neq j, i,j\in[1,n+1]$，使得 $|S_i\cap S_j|\geq n/2$。

    证明（引自宋佳兴学长）：记元素 $p,p\in\{1,\cdots,2n\}$ 在所有子集中出现的次数为 $\newcommand{\cnt}{\operatorname{cnt}}\cnt(p)$。则显然有“所有子集两两之交的大小”
    $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n+1}|S_i\cap S_j|=\sum_{p=1}^{2n}\binom{\cnt(p)}{2}$$

    考虑计算该式最小为何。不妨先考虑 $\binom{a}{b}+\binom{n-a}{b}$ 在何时取最小值。

    引理：$\binom{a}{b}+\binom{n-a}{b}, b\leq n, a\geq 0, a\leq n$ 在 $a=\lfloor n/2\rfloor$ 处取最小值。

    （更多…）