对于每一轮对局的 $m!$ 种排列，对于编号为 $a$ 的牌，恒有 $(m-1)!$ 种是以牌 $a$ 为首的。因此一轮可以归为 $m$ 种情况，首张为王牌的概率为 $\frac{1}{m}$。
这是某场模拟考试给出的部分分：
$$
\begin{array}{cccc}
\text{Subtask}&\text{Constraints}&\text{Points}&\text{Dependencies}\\ \hline
1&n,m,k\leq 5&2&\\
2&k=1&2&\\
3&k\leq 5000&10&1,2\\
4&m\leq 100&10&1\\
5&n\leq k&5&\\
6&k\leq 10^5&10&1,2,3\\
7&k\leq 5\times 10^6&20&1,2,3,6\\
8&&41&1\sim 7
\end{array}
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Educational Codeforces Round 133 F – Bags with Balls
题目中存在高次项的和。则我们分别计算有 $p=1,2,\cdots,n$ 个袋子选择奇数号球时的方案。对于选择了奇数号球的袋子，每个有 $\lceil \frac{m}{2} \rceil$ 种选择；偶数的则有 $\lfloor \frac{m}{2} \rfloor$ 种。因此答案为：
$$
\sum_{p=0}^{n}p^k\dbinom{n}{p}\Big\lceil\frac{m}{2}\Big\rceil^p\Big\lfloor \frac{m}{2} \Big\rfloor^{n-p}
$$
由于 $n\leq 10^9$，这式子看起来非常棘手。但我们注意到，有 $k\leq 2000$，这提示我们或许应该转变对答案的贡献方式：从高次幂入手，找到 $\mathrm{O}(\operatorname{poly} k)$ 而非 $\mathrm{O}(n)$ 的算法。 （更多…）