无题

命题

现有一个 $2$ 维向量 $\mathbf{v}\in\mathbb R^2$，有 $2\times 2$ 矩阵 $\mathbf A$，$2\times 3$ 矩阵 $\mathbf T$，$3\times 3$ 矩阵 $\mathbf B$。有非负整数 $c$，则
$$
\sum_{i=0}^c\mathbb v\times \mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c-i}
$$
的第 $1,2,3$ 维等于
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf v,0,0,0
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}&\mathbf T\\
\mathbf{0}&\mathbf{I}
\end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix}
\mathbf{A}&\mathbf 0\\
\mathbf{0}&\mathbf{B}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}&\mathbf T\\
\mathbf{0}&\mathbf{I}
\end{pmatrix}
\right)^c
$$
的第 $3,4,5$ 维。

其中 $\begin{pmatrix}
\mathbf v,0,0,0
\end{pmatrix}$ 是一个 $5$ 维向量，上文分块矩阵均为 $5\times 5$。

证明

归纳法。对于 $c=0$ 显然成立。

有
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{A}&\mathbf 0\\
\mathbf{0}&\mathbf{B}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}&\mathbf T\\
\mathbf{0}&\mathbf I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\mathbf A&\mathbf{AT}\\
\mathbf 0&\mathbf B
\end{pmatrix}
=\mathbf C
$$

假设对于 $c=0,\cdots,c_1$，均有上文分块矩阵之积为
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf A^c&\sum_{i=0}^c\mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c-i}\\
\mathbf 0&\mathbf B^c
\end{pmatrix}
$$

则其右乘 $\mathbf C$ 可得
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf A^{c+1}&\sum_{i=0}^{c+1}\mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c+1-i}\\
\mathbf 0&\mathbf B^{c+1}
\end{pmatrix}
$$

这正是我们所要证明的。