介值定理
若有连续函数f:[a,b]↦R,且不失一般性地,令a<b,f(a)<f(b),则对于任意实数x∈[f(a),f(b)],存在c∈(a,b),f(c)=x。
容易由实数完备性证明。直观理解,即可以画出一段连续曲线,其两端点分别为(a,f(a)),(b,f(b)),而笔不离开纸面。
离散函数值上的介值定理
若存在函数f(x)∈Z,x∈Z,且满足∣f(x)−f(x+1)∣≤1,则对于a<b,f(a)<f(b),若有整数x∈[f(a),f(b)],存在一个c∈(a,b),f(c)=x。
证明显然。
在OI中的实际意义?
我们常遇到这样一类函数:在某些数列上进行统计,邻项函数值之间的差为{−1,0,1},如括号序前缀和(‘(‘→+1,‘)’→−1),则可以通过上述性质判断某两点之间函数值是否存在。
例如CF1695C – Zero Path,本质上路径上数字和是一个满足上述条件的整数离散函数。
再例如CF1658F – Juju and Binary String,可以将题意转化为一个函数f(x)∈[0,n],x∈[0,n]∧∃xp,f(xp)>0,且满足上述性质;同时有函数g(x)=x,x∈[1,n],则可以证明一定存在x0,g(x0)=f(x0)。