无题

命题

现有一个 $2$ 维向量 $\mathbf{v}\in\mathbb R^2$，有 $2\times 2$ 矩阵 $\mathbf A$，$2\times 3$ 矩阵 $\mathbf T$，$3\times 3$ 矩阵 $\mathbf B$。有非负整数 $c$，则 $$\sum_{i=0}^c\mathbb v\times \mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c-i}$$ 的第 $1,2,3$ 维等于 $$\begin{pmatrix} \mathbf v,0,0,0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \mathbf{I}&\mathbf T\\ \mathbf{0}&\mathbf{I} \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} \mathbf{A}&\mathbf 0\\ \mathbf{0}&\mathbf{B} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I}&\mathbf T\\ \mathbf{0}&\mathbf{I} \end{pmatrix} \right)^c$$ 的第 $3,4,5$ 维。

其中 $\begin{pmatrix} \mathbf v,0,0,0 \end{pmatrix}$ 是一个 $5$ 维向量，上文分块矩阵均为 $5\times 5$。

证明

归纳法。对于 $c=0$ 显然成立。

有 $$\begin{pmatrix} \mathbf{A}&\mathbf 0\\ \mathbf{0}&\mathbf{B} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I}&\mathbf T\\ \mathbf{0}&\mathbf I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf A&\mathbf{AT}\\ \mathbf 0&\mathbf B \end{pmatrix} =\mathbf C$$

假设对于 $c=0,\cdots,c_1$，均有上文分块矩阵之积为 $$\begin{pmatrix} \mathbf A^c&\sum_{i=0}^c\mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c-i}\\ \mathbf 0&\mathbf B^c \end{pmatrix}$$

则其右乘 $\mathbf C$ 可得 $$\begin{pmatrix} \mathbf A^{c+1}&\sum_{i=0}^{c+1}\mathbf A^i\mathbf T\mathbf B^{c+1-i}\\ \mathbf 0&\mathbf B^{c+1} \end{pmatrix}$$

这正是我们所要证明的。