数论 / 题解

2023 NOI 春季测试 T2 – 幂次 简略题解

洛谷题库 P9118 [春季测试 2023] 幂次

我们有非常易于理解的暴力解法：直接对于 b=3,4⋯b=3,4\cdots，求出所有可以当作底数的 aa，计算 aba^b 后放入数据结构/排序去重；特别处理 b=2b=2 的情况即可。在此不再赘述。

不过，我们注意到若有正整数 xx，满足 x>1,x=a0b0  (a0,b0∈N)x>1,x=a_0^{b_0}\ \ (a_0,b_0\in \mathbb N)，且 ∀a,b∈N,a0≠ab\forall a,b\in\mathbb N,a_0\neq a^b（即底数 a0a_0 不可再开根），那么 ∀b,b∣b0,x=(a0b0/b)b\forall b,b\mid b_0,x=(a_0^{b_0/b})^b。这意味着假如不去重地暴力添加 ⌊nb⌋\lfloor\sqrt[b]{n}\rfloor 到答案中，上文中 xx 将被算 ∣{b∣b0≡0(modb)}∣|\{b\mid b_0\equiv 0\pmod b\}| 次。

于是这就变成莫反的模板题了：记 g(b)g(b) 表示“能被 aba^b 表出的 xx 之数量”，f(b0)f(b_0) 表示“恰能被 x=a0b0x=a_0^{b_0} 表出，不可被 x=ab,b<b0x=a^b,b<b_0 表出的 xx 的数量”。易得 g(b)=∑b∣b0f(b0)g(b)=\sum_{b\mid b_0}f(b_0)，故 f(b0)=∑b0∣bg(b)μ(b/b0)f(b_0)=\sum_{b_0\mid b}g(b)\mu(b/b_0)。显然，当 b>log⁡2nb>\log_2 n 时仅有 a=1a=1 满足 ab≤na^b\leq n，故我们只需计算 ⌊log⁡2n⌋\lfloor\log_2 n\rfloor 个 bb，最后特判 a=1a=1。预处理出 μ\mu 的值，暴力求取反演式，复杂度为 O⁡(log⁡2n)\operatorname{O}(\log^2 n)。

其实并不需要这么麻烦。我们根本不需要反演：根据 g(b)=∑b∣b0f(b0)g(b)=\sum_{b\mid b_0}f(b_0)，假若 ∀b0,b0>b,f(b0)\forall b_0,b_0>b,f(b_0) 都已经计算完成，那么我们直接得到 f(b)=g(b)−∑b∣b0,b0>bf(b0)f(b)=g(b)-\sum_{b\mid b_0,b_0>b}f(b_0)。由 bb 从大往小计算即可，复杂度相同。

More
  • 2023年3月10日
多项式 / 算法

再探 FFT – DIT 与 DIF，另种推导和优化

本文将简单推导两种方式进行的离散傅里叶变换，用另种视角解释并优化算法。参考了 Seniorious yhx-12243 的 NTT 到底写了些什么（详细揭秘） 一文、OI Wiki 快速傅里叶变换 条目 和 rushcheyo 转置原理及其应用 讲稿。

离散傅里叶变换

我们计算数列 {an}\{a_n\} 的离散傅里叶变换 DFT⁡(a,n)k=∑j=0n−1aje−2πinkj \newcommand\DFT{\operatorname{DFT}}\DFT(a,n)_k=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\mathrm{e}^{\frac{-2\pi\mathrm{i}}{n}kj}

由卷积定理和循环卷积得到，我们对同样长为 nn 的数列 {bn}\{b_n\} 作 DFT⁡\DFT，并令数列 ck=DFT⁡(a,n)kDFT⁡(b,n)kc_k=\DFT(a,n)_k\DFT(b,n)_k，则有 IDFT⁡(c,n)k=∑j+q≡k(modn)ajbq \newcommand\IDFT{\operatorname{IDFT}}\IDFT(c,n)_k=\sum_{j+q\equiv k\pmod n}a_jb_q

于是我们可以利用该原理实现常规意义下的数列卷积：有长为 nn 的数列 {an}\{a_n\}，长 mm 的数列 {bm}\{b_m\}，则将 a,ba,b 高位补 00，分别作 n+m−1n+m-1 位的 DFT⁡\DFT，点值相乘后 IDFT⁡\IDFT 即可得到 ck=∑i+j≡k(modn+m−1)aibj=∑i+j=k0≤i<n0≤j<maibjc_k=\sum_{i+j\equiv k\pmod{n+m-1}}a_ib_j=\sum_{\substack{i+j=k\\0\leq i<n\\0\leq j<m}}a_ib_j。

为行文方便，下文采用 DFT⁡(a,n)k=∑i=0n−1aiωnik\DFT(a,n)_k=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{ik} 的定义，其中 ωn=exp⁡(2πi/n)\omega_n=\exp(2\pi\mathrm{i}/n)，即 nn 阶单位根。 （更多…）

More
  • 2023年2月23日
数论 / 比赛日志

MOCK quasi-PTS 20230209 日志

近一个月来第一次赛时通过一道题。真是可喜可贺。

A – 单调

一开始以为与网络流相关；后来考虑 DP；结果是个贪心或者乱搞。

题意简述

给定长为 n  (n≤105)\newcommand\bigO{\operatorname{O}}n\ \ (n\leq 10^5) 的序列 ⟨ai⟩,ai∈{1,2,3}\langle a_i\rangle,a_i\in\{1,2,3\}。匹配尽可能多的子序列，每个子序列均为 ⟨1,2,3⟩\langle 1,2,3\rangle 或 ⟨3,2,1⟩\langle 3,2,1\rangle，且一个位置最多被一个子序列占用。求最大匹配数。 （更多…）

More
  • 2023年2月9日
组合数学 / 题解

洛谷题库 P6031 Cards 加强版 – 题解与思路重现

洛谷题库 P6031 Cards 加强版

对于每一轮对局的 m!m! 种排列，对于编号为 aa 的牌，恒有 (m−1)!(m-1)! 种是以牌 aa 为首的。因此一轮可以归为 mm 种情况，首张为王牌的概率为 1m\frac{1}{m}。

这是某场模拟考试给出的部分分： SubtaskConstraintsPointsDependencies1n,m,k≤522k=123k≤5000101,24m≤1001015n≤k56k≤105101,2,37k≤5×106201,2,3,68411∼7 \begin{array}{cccc} \text{Subtask}&\text{Constraints}&\text{Points}&\text{Dependencies}\\ \hline 1&n,m,k\leq 5&2&\\ 2&k=1&2&\\ 3&k\leq 5000&10&1,2\\ 4&m\leq 100&10&1\\ 5&n\leq k&5&\\ 6&k\leq 10^5&10&1,2,3\\ 7&k\leq 5\times 10^6&20&1,2,3,6\\ 8&&41&1\sim 7 \end{array} （更多…）

More
  • 2023年1月31日
数据结构 / 算法

高维莫队

我们可以将莫队算法从一维扩展到更高维度。

考虑正在维护 kk 维结构的信息，且每一维的大小分别为 n1,n2,⋯ ,nkn_1,n_2,\cdots,n_k。为了下文叙述方便，我们将维度大小序列复制一份，得到 nk+1,⋯ ,n2k(ni=ni−k)n_{k+1},\cdots,n_{2k}\quad(n_i=n_{i-k})。我们同时维护 2k2k 个指针，第 i  (i≤k)i\ \ (i\leq k) 个指针维护第 ii 维左端点，第 i  (k<i≤2k)i\ \ (k<i\leq 2k) 个指针维护第 i−ki-k 维右端点。按询问处理顺序依次移动到每个询问对应的位置上。 （更多…）

More
  • 2023年1月24日
字符串 / 数据结构 / 比赛日志

MOCK quasi-PTS 20230102 日志

又来了，要不然差临门一脚要不然是编译器出锅悬置指针导致了看似非常不合理的 undefined behavior。这已经不是简单的 frustration 了，要是考场上遇到这种根本没办法查出来的语言相关问题，不就三年 OI 一场空了么？

不过，正是因为考试前从没“用过”悬置指针，才会诱发这样的问题。这再次提醒我们，考场上千万不要使用不熟悉的语法糖，使用平时经大量验证的写法，纵使排版稍欠美观、或代码量增长少许，也是稳定而完备的。

不得不说，这几场“主题模拟赛”的题面中，唯这一场是最上心的。既将足球相关术语用平易近人的方式融合进题面里，又不使其过分冗长而消磨选手耐心。 （更多…）

More
  • 2023年1月23日
数据结构

吉司机线段树（Segment Tree Beats!）复杂度分析

这是原论文中证明的简化版本，但不失其正确性。

记 mxx\newcommand\mx{\text{mx}}\mx_x 为 xx 子树中最大值，smxx\newcommand\smx{\text{smx}}\smx_x 为 xx 子树中严格次大值，fa⁡(x)\newcommand\fa{\operatorname{fa}}\fa(x) 为 xx 的父亲。称节点 xx 为关键点，当且仅当 xx 是根节点，或 mxfa⁡(x)≠mxx\mx_{\fa(x)}\neq \mx_x。设变量 Φ\Phi 表示目前线段树上关键点个数。 （更多…）

More
  • 2023年1月23日
字符串 / 题解

CF356E – Xenia and String Problem – 题解

CodeForces CF356E – Xenia and String Problem

这是一种不需要任何数据结构和处理字符串的工具，但细节繁多的做法。

设全串为 s1…ns_{1\dots n}。不难发现，Gray string 的串长必然是 2w−1(w≥1)2^w-1\quad (w\geq 1) 的形式。若其长为 2w−12^w-1，我们称其为 w−1w-1 阶 Gray string。

同时用归纳法可以证明，设一个 ww 阶 Gray string 的起始位置为 x+1x+1（其终到位置为 x+2w+1x+2^{w+1}），那么必然有 ∀k∈{0,1,⋯ ,w},sx+2k=sx+2k+2k+1=sx+2k+2×2k+1=⋯=sx+2k+(2w−k−1)2k+1∀i,j,0≤i<j≤w,sx+2i≠sx+2j \forall k\in\{0,1,\cdots,w\},s_{x+2^k}=s_{x+2^k+2^{k+1}}=s_{x+2^k+2\times 2^{k+1}}=\cdots=s_{x+2^k+(2^{w-k}-1)2^{k+1}}\\ \forall i,j,0\leq i<j\leq w,s_{x+2^i}\neq s_{x+2^j} 成立。例如一个 33 阶 Gray string 可以被描述为 abacabadabacaba\mathtt{abacabadabacaba}。 （更多…）

More
  • 2023年1月5日
组合数学 / 题解

AtCoder AGC058D – Yet Another ABC String – 题解

AGC058D – Yet Another ABC String

将 A,B,C\mathtt{A,B,C} 换成 0,1,20,1,2。记 a,b,ca,b,c 是题面中 A,B,C\mathtt{A,B,C} 的数量，n=a+b+cn=a+b+c。我们称位置 ii 不合法，当且仅当 Si−2+2≡Si−1+1≡Si(mod3)S_{i-2}+2\equiv S_{i-1}+1\equiv S_i\pmod 3。将其视为两条边 (i−2,i−1),(i−1,i)(i-2,i-1),(i-1,i)，那么所有不合法的位置造成的连边将会形成若干条链。

考虑容斥。直接钦定指定数量的位置不合法，其方案是难以计算的。又因为容斥系数是 (−1)c(-1)^c，cc 为钦定的非法位置数量，那么将整个串分成若干个部分分别计算方案，带上容斥系数相乘后累加，结果不变。故而尝试从上文的链入手：易得对于固定长度的一条链，能够连成它的非法位置集合不变。设 f(l,0)f(l,0) 表示“大小为偶数，且能够连成长度恰为 ll 的链”的非法位置集合数量；f(l,1)f(l,1) 则是大小为奇数。染色方案与位置集合方案是独立的；则设整个串按顺序被分成了链 (l1,l2,⋯ ,ls)(l_1,l_2,\cdots,l_s)（此处的“链”长度均不小于 33），答案即为 ∑(l1,⋯ ,ls)染色方案数⁡((l1,⋯ ,ls))∏i=1s((−1)f(li,1)+f(li,0))\sum_{(l_1,\cdots,l_s)}\operatorname{染色方案数}\left((l_1,\cdots,l_s)\right)\prod_{i=1}^s\left((-1)f(l_i,1)+f(l_i,0)\right) （更多…）

More
  • 2022年12月16日
成都外国语学校高一 OIer。喜欢搞些杂七杂八的小项目。擅长长跑。常去骑车。

一言(ひとこと)

陽炎は黄泉に待たむと。

分类