算法

本文将简单推导两种方式进行的离散傅里叶变换，用另种视角解释并优化算法。参考了 Seniorious yhx-12243 的 NTT 到底写了些什么（详细揭秘） 一文、OI Wiki 快速傅里叶变换 条目 和 rushcheyo 转置原理及其应用 讲稿。

离散傅里叶变换

我们计算数列 $\{a_n\}$ 的离散傅里叶变换 $$\newcommand\DFT{\operatorname{DFT}}\DFT(a,n)_k=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\mathrm{e}^{\frac{-2\pi\mathrm{i}}{n}kj}$$

由卷积定理和循环卷积得到，我们对同样长为 $n$ 的数列 $\{b_n\}$ 作 $\DFT$，并令数列 $c_k=\DFT(a,n)_k\DFT(b,n)_k$，则有 $$\newcommand\IDFT{\operatorname{IDFT}}\IDFT(c,n)_k=\sum_{j+q\equiv k\pmod n}a_jb_q$$

于是我们可以利用该原理实现常规意义下的数列卷积：有长为 $n$ 的数列 $\{a_n\}$，长 $m$ 的数列 $\{b_m\}$，则将 $a,b$ 高位补 $0$，分别作 $n+m-1$ 位的 $\DFT$，点值相乘后 $\IDFT$ 即可得到 $c_k=\sum_{i+j\equiv k\pmod{n+m-1}}a_ib_j=\sum_{\substack{i+j=k\\0\leq i<n\\0\leq j<m}}a_ib_j$。

为行文方便，下文采用 $\DFT(a,n)_k=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{ik}$ 的定义，其中 $\omega_n=\exp(2\pi\mathrm{i}/n)$，即 $n$ 阶单位根。 （更多…）