数据结构

吉司机线段树（Segment Tree Beats!）复杂度分析

这是原论文中证明的简化版本，但不失其正确性。

记 mxx\newcommand\mx{\text{mx}}\mx_x 为 xx 子树中最大值，smxx\newcommand\smx{\text{smx}}\smx_x 为 xx 子树中严格次大值，fa⁡(x)\newcommand\fa{\operatorname{fa}}\fa(x) 为 xx 的父亲。称节点 xx 为关键点，当且仅当 xx 是根节点，或 mxfa⁡(x)≠mxx\mx_{\fa(x)}\neq \mx_x。设变量 Φ\Phi 表示目前线段树上关键点个数。 （更多…）

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  • 2023年1月23日
字符串 / 题解

CF356E – Xenia and String Problem – 题解

CodeForces CF356E – Xenia and String Problem

这是一种不需要任何数据结构和处理字符串的工具，但细节繁多的做法。

设全串为 s1…ns_{1\dots n}。不难发现，Gray string 的串长必然是 2w−1(w≥1)2^w-1\quad (w\geq 1) 的形式。若其长为 2w−12^w-1，我们称其为 w−1w-1 阶 Gray string。

同时用归纳法可以证明，设一个 ww 阶 Gray string 的起始位置为 x+1x+1（其终到位置为 x+2w+1x+2^{w+1}），那么必然有 ∀k∈{0,1,⋯ ,w},sx+2k=sx+2k+2k+1=sx+2k+2×2k+1=⋯=sx+2k+(2w−k−1)2k+1∀i,j,0≤i<j≤w,sx+2i≠sx+2j \forall k\in\{0,1,\cdots,w\},s_{x+2^k}=s_{x+2^k+2^{k+1}}=s_{x+2^k+2\times 2^{k+1}}=\cdots=s_{x+2^k+(2^{w-k}-1)2^{k+1}}\\ \forall i,j,0\leq i<j\leq w,s_{x+2^i}\neq s_{x+2^j} 成立。例如一个 33 阶 Gray string 可以被描述为 abacabadabacaba\mathtt{abacabadabacaba}。 （更多…）

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  • 2023年1月5日
组合数学 / 题解

AtCoder AGC058D – Yet Another ABC String – 题解

AGC058D – Yet Another ABC String

将 A,B,C\mathtt{A,B,C} 换成 0,1,20,1,2。记 a,b,ca,b,c 是题面中 A,B,C\mathtt{A,B,C} 的数量，n=a+b+cn=a+b+c。我们称位置 ii 不合法，当且仅当 Si−2+2≡Si−1+1≡Si(mod3)S_{i-2}+2\equiv S_{i-1}+1\equiv S_i\pmod 3。将其视为两条边 (i−2,i−1),(i−1,i)(i-2,i-1),(i-1,i)，那么所有不合法的位置造成的连边将会形成若干条链。

考虑容斥。直接钦定指定数量的位置不合法，其方案是难以计算的。又因为容斥系数是 (−1)c(-1)^c，cc 为钦定的非法位置数量，那么将整个串分成若干个部分分别计算方案，带上容斥系数相乘后累加，结果不变。故而尝试从上文的链入手：易得对于固定长度的一条链，能够连成它的非法位置集合不变。设 f(l,0)f(l,0) 表示“大小为偶数，且能够连成长度恰为 ll 的链”的非法位置集合数量；f(l,1)f(l,1) 则是大小为奇数。染色方案与位置集合方案是独立的；则设整个串按顺序被分成了链 (l1,l2,⋯ ,ls)(l_1,l_2,\cdots,l_s)（此处的“链”长度均不小于 33），答案即为 ∑(l1,⋯ ,ls)染色方案数⁡((l1,⋯ ,ls))∏i=1s((−1)f(li,1)+f(li,0))\sum_{(l_1,\cdots,l_s)}\operatorname{染色方案数}\left((l_1,\cdots,l_s)\right)\prod_{i=1}^s\left((-1)f(l_i,1)+f(l_i,0)\right) （更多…）

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  • 2022年12月16日
操作系统与硬件 / 比赛日志 / 组合数学

MOCK quasi-PTS 20221214 日志

NOIP+？准省选难度？已经到了能力的边缘么？

但有点奇怪的是，这三道题的思考方向全部正确，T1 甚至只差临门一脚了；可惜部分分给得不那么让人舒服。

另外，这种“为了卡常而卡常”的时间限制着实令人不适；尤其是当 CWOI 的评测机本身配置落后的情况下。不过这也反过来使得我重新开始关注更底层的常数优化。

简略题解

A – 种花

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  • 2022年12月16日
数据结构 / 题解

NOIP 2022 T4 – 比赛 (match) – 题解

洛谷题库 P8868 [NOIP2022] 比赛

本文记号可能稍显凌乱，但都能在题面或者前文中找到定义。

部分分

20 pts\text{20 pts} – n,Q≤3000n,Q\leq 3000

考虑枚举所有 O⁡(n2)\newcommand\bigO{\operatorname{O}}\bigO(n^2) 个区间，预先计算它们本身的答案。记 ga(l,r)={max⁡{ai∣l≤i≤r},(1≤l≤r≤n)0otherwisegb(l,r)={max⁡{bi∣l≤i≤r},(1≤l≤r≤n)0otherwise\begin{aligned}g_a(l,r)&=\begin{cases}\max\{a_i\mid l\leq i\leq r\},&(1\leq l\leq r\leq n)\\0&\text{otherwise}\end{cases}\\g_b(l,r)&=\begin{cases}\max\{b_i\mid l\leq i\leq r\},&(1\leq l\leq r\leq n)\\0&\text{otherwise}\end{cases}\end{aligned} 则做前缀和 s(l,r)=∑i=lrga(l,i)gb(l,i)s(l,r)=\sum_{i=l}^{r}g_a(l,i)g_b(l,i)，对于询问 [ql,qr][\text{ql},\text{qr}] 只需回答 ∑i=qlqrs(i,qr)\sum_{i=\text{ql}}^{\text{qr}}s(i,\text{qr}) 即可。

令 n,Qn, Q 同阶，时空复杂度 O⁡(n2)\bigO(n^2)。 （更多…）

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  • 2022年12月8日
OI / 组合数学 / 题解

CF1747E – List Generation – 题解

这道破题拖了我整整一天。

代数推导

转化为容斥模型

题目所给限制可以表述为，aa 和 bb 均为单调不降的序列，长度相等（记为 kk），且 a1=0,ak=n,b1=0,bk=m,∄i∈[2,k],ai=ai−1∧bi=bi−1a_1=0,a_k=n,b_1=0,b_k=m,\nexists i\in[2,k],a_i=a_{i-1}\land b_i=b_{i-1}。

考虑差分序列 ai’=ai−ai−1(i∈[2,k]){a_i}’=a_i-a_{i-1}\quad(i\in[2,k])，bi’{b_i}’ 同理，它与原序列形成双射。于是不存在 ai’=bi’=0{a_i}’={b_i}’=0 的差分序列合法。考虑 ∑i=2kai’=n\sum_{i=2}^{k}{a_i}’=n，也就是和为 nn 的 k−1k-1 元线性方程组的一组非负整数解；b’b’ 同理。容易计算“钦定至少有 cc 个位置不合法”的方案数——利用容斥原理即可得到长为 kk 的合法序列对个数为 ∑c=0k−2(k−1c)(n+(k−1)−1−c(k−1)−1−c)(m+(k−1)−1−c(k−1)−1−c)(−1)c\sum_{c=0}^{k-2}\binom{k-1}{c}\binom{n+(k-1)-1-c}{(k-1)-1-c}\binom{m+(k-1)-1-c}{(k-1)-1-c}(-1)^c 答案累加上式结果 ×k\times k。 （更多…）

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  • 2022年12月1日
OI / 比赛日志

MOCK NOIP 20221117 日志

T1 的 Hack 数据提醒我，尽管时间复杂度没有变化，但所有想到剪枝和常数优化在时限不充裕的题目中仍是必要的。

T2 没有认真读题，忽略了“恰执行一次”的要求。

T3 里面没有使用自己熟悉的存边方式，时间趋紧的情况下代码实现出错。这再次告诫我应以求稳为重。

简单题解

A – 跳棋

从 (x,y)(x,y) 跨步跳能够跳到 (x±2,y),(x,y±2)(x\pm 2,y),(x,y\pm 2)，以及 (x+k,y+k),k=±2(x+k,y+k),k=\pm 2。可以发现 x,yx,y 奇偶性均不变。我们只需要考虑所有存在棋子的格子及其邻居。它们形成若干连通块，在这些连通块上 BFS 即可。

若采用 std::map 存储，时间复杂度为 O⁡(7nlog⁡n)\newcommand\bigO{\operatorname{O}}\bigO(7n\log n)。需要采纳“避免遍历不存在的连通块”之类的优化。 （更多…）

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  • 2022年11月23日
OI / 比赛日志

MOCK NOIP 20221112 日志

仍然是中规中矩的一场模拟赛。前两题正解，第三题暴力，第四题不会。

简略题解

A – 激光

考虑是否有两条及以上双向连边，若是则无解，若有一条则枚举要将哪一侧的发射器旋转到哪一方向。简单模拟即可。

B – 碰撞

这类数轴上带标号小球相撞的题目都有一个经典套路：两球相撞调转方向时，我们不认为是球本身转向，而认为两球仍然保持原方向运动，而其编号交换。 （更多…）

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  • 2022年11月20日
成都外国语学校高二 OIer。喜欢搞些杂七杂八的小项目。常去骑车。复健中，脚力已不如前。

一言(ひとこと)

暫し空に祈りて 愛を断て

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