形式化题意
给定 A+B 个本质相同的随机变量,在 {1,2,⋯,6} 内等概率取值。若两个随机变量 a∈A,b∈B,a=b,则二者相消为 0。求在所有可能的消除完成后,存在 a≤t,a∈A,t∈{1,2,⋯,6} 的概率。对 109+7 取模。
朴素DP
令 ci 表示随机结果中数值为 i 的 A 内变量数;di 同理。原题意可以转化为求出 1−P(不存在小于等于t的a)。由概率的定义,我们可以用能造成后者局面的方案总数除以 6A+B 既是结果。换句话说,原命题的否命题应当满足 ∀i∈{1,2,⋯,t},ci≤di。
又因为这些随机变量本质相同,则由“可重集的排列数”得,若有确定的 c1,c2,⋯,c6,∑i=16ci=A,则掷出对应结果的方案数为
(c1A)(c2A−c1)⋯(c6A−∑i=15ci)=∏i=16ci!A! (更多…)