计数问题

形式化题意

给定 $A+B$ 个本质相同的随机变量，在 $\{1,2,\cdots,6\}$ 内等概率取值。若两个随机变量 $a \in A, b \in B, a=b$，则二者相消为 $0$。求在所有可能的消除完成后，存在 $a \leq t, a \in A, t \in \{1,2,\cdots,6\}$ 的概率。对 $10^9+7$ 取模。

朴素DP

令 $c_i$ 表示随机结果中数值为 $i$ 的 $A$ 内变量数；$d_i$ 同理。原题意可以转化为求出 $1-P(\text{不存在小于等于}t\text{的}a)$。由概率的定义，我们可以用能造成后者局面的方案总数除以 $6^{A+B}$ 既是结果。换句话说，原命题的否命题应当满足 $\forall i \in \{1,2,\cdots,t\}, c_i \leq d_i$。

又因为这些随机变量本质相同，则由“可重集的排列数”得，若有确定的 $c_{1},c_2,\cdots,c_6, \sum_{i=1}^{6}c_i=A$，则掷出对应结果的方案数为 $$\dbinom{A}{c_1}\dbinom{A-c_1}{c_2}\cdots\dbinom{A-\sum_{i=1}^{5}c_i}{c_6}=\dfrac{\color{blue}A!}{\prod_{i=1}^{6}c_i!}$$ （更多…）