裴蜀定理

题意简述

给定不含重边的有向图 $G$，设其邻接矩阵为 $A$，定义其元素的“加”为逻辑或，“乘”为逻辑与。问 $A^c,c=1,2,\cdots$ 在何时出现循环节（$c=k$），以及最小循环节长度 $d$（即，$A^k=A^{k+d}$，$k,d$ 均最小）。

题意转化

在原图上，从 $u$ 出发，可用恰 $b$ 步走到 $v$，则在 $b$ 次迭代后的图上有有向边 $(u,v)$。问最少迭代多少次后图的形态出现循环节。

强连通图的所有环环长的最大公约数

任意找一点 $u$，只需考虑经过 $u$ 的所有环。

考虑有一不经过 $u$ 的环，其长为 $a$；另有一经过所有点的环（本图强连通），其长为 $b$。则有 $\gcd(a,b,a+b)=\gcd(a,a+b)$。

我们任意找一棵本图的搜索树。设其根为 $u$。设节点 $v$ 的深度为 $\newcommand\dep{\operatorname{dep}}\dep(v)$。设某经过 $u$ 的有限长度的环依次经过了非树边（横叉边、返祖边） $(v_1,w_1),(v_2,w_2),\cdots,(v_t,w_t)$。那么其环长在答案中可以被 $\gcd(|\dep(v_i)+1-\dep(w_i)|,i\in\{1,2,\cdots,t\})$ 取代。

可得 $w_i$ 一定是 $v_{i+1}$ 的祖先。我们删去 $(v_1,w_1)$，得到另一个环；这环与原来环的长度差为 $\dep(w_1)-\dep(v_1)-1$。这两环均在答案中作出贡献；又由于 $\gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)$，则我们将原来的环长等价替换为两个数：其一即 $|\dep(w_1)-\dep(v_1)-1|$，其二为现在的环长。再继续删除 $(v_2,w_2),\cdots$，便等价地换为 $t+1$ 个数。

因此我们遍历一遍搜索树，就可以在 $\operatorname{O}(n\log n)$ 的时间内求出所有环环长之 $\gcd$。 （更多…）