循环卷积

洛谷题库 P4721【模板】分治FFT

给定数列 $g_{1\cdots n}$，求解满足如下形式的数列 $f$：$f_0=1,f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_jg_{i-j},\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}$，对 $998244353$ 取模。

这道题可以通过多项式求逆解决。我们在此不作讨论。

考虑其转移形式，全部都是依赖于前序已求出项的、固定系数的线性转移。则可以考虑CDQ分治。如果你愿意，也可以叫作“分治FFT”。

假设正处理区间 $[l, r]$；令 $\text{mid}=\lceil (l+r)/2\rceil$，我们已经计算好 $f_{l,\cdots,\text{mid}}$。现统一处理左半区间对右半的贡献。

则令考虑的乘积项为 $f_i, i \in [l, \text{mid}]$，要向 $f_j, j \in (\text{mid}, r]$ 作贡献。有 $f_j \leftarrow g_{j-i}f_i$。故而对于 $i \in [l, \text{mid}]$，其将分别与 $g_{\text{mid}+1-l, \cdots, r-l}, g_{\text{mid}-l, \cdots, r-l-1}, \cdots, g_{1, \cdots, r-\text{mid}}$ 作卷积。其二者下标的和即为贡献对象。故而我们构造两个多项式 $F(x), G(x)$，有 $[x^i]F(x)=f_{i+l}, [x^j]G(x)=g_{j-1}$，将其二者作卷积，他们对 $f_j, j \in (\text{mid}, r]$ 的贡献即为 $[x^{j-l-1}]F(x)G(x)$。

（更多…）